عالم كرة القدم والسلة

2025-08-31 05:51دمشق

الأعداد المركبة هي أحد المفاهيم الأساسية في الرياضيات، حيث تمثل امتدادًا للأعداد الحقيقية. في هذا الدرس، سنتعرف على تعريف الأعداد المركبة، خصائصها، وكيفية التعامل معها في العمليات الحسابية المختلفة. شرحدرسالأعدادالمركبة

1. تعريف العدد المركب

العدد المركب (Complex Number) هو عدد يمكن كتابته على الصورة:
[ z = a + bi ]
حيث:
- a و b أعداد حقيقية.
- i هي الوحدة التخيلية، وتحقق المعادلة ( i^2 = -1 ).
- يُسمى a الجزء الحقيقي للعدد المركب (Real Part).
- يُسمى b الجزء التخيلي للعدد المركب (Imaginary Part).

شرحدرسالأعدادالمركبة

2. تمثيل الأعداد المركبة

يمكن تمثيل الأعداد المركبة بعدة طرق، منها:
- التمثيل الجبري: مثل ( 3 + 4i ).
- التمثيل الهندسي: حيث يُرسم العدد المركب على المستوى الإحداثي (مستوى الأعداد المركبة)، حيث يمثل المحور الأفقي الجزء الحقيقي والمحور الرأسي الجزء التخيلي.

شرحدرسالأعدادالمركبة

3. العمليات الأساسية على الأعداد المركبة

الجمع والطرح

لجمع أو طرح عددين مركبين، نجمع أو نطرح الأجزاء الحقيقية والتخيلية بشكل منفصل:
[ (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i ]
[ (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i ]

شرحدرسالأعدادالمركبة

الضرب

يتم ضرب الأعداد المركبة باستخدام خاصية التوزيع مع مراعاة أن ( i^2 = -1 ):
[ (a + bi) \times (c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i ]

شرحدرسالأعدادالمركبة

القسمة

لقسمة عددين مركبين، نضرب البسط والمقام في مرافق المقام (Complex Conjugate) لإزالة الجزء التخيلي من المقام:
[ \frac{ a + bi}{ c + di} = \frac{ (a + bi)(c - di)}{ c^2 + d^2} ]

شرحدرسالأعدادالمركبة

4. مرافق العدد المركب (Complex Conjugate)

مرافق العدد المركب ( z = a + bi ) هو العدد ( \overline{ z} = a - bi ). من خصائصه:
- ضرب العدد بمرافقه يعطي عددًا حقيقيًا: ( z \times \overline{ z} = a^2 + b^2 ).
- يُستخدم في تبسيط القسمة بين الأعداد المركبة.

شرحدرسالأعدادالمركبة

5. القيمة المطلقة للعدد المركب (Modulus)

القيمة المطلقة للعدد ( z = a + bi ) تُعطى بالعلاقة:
[ |z| = \sqrt{ a^2 + b^2} ]
وهي تمثل المسافة بين النقطة التي تمثل العدد المركب على المستوى الإحداثي ونقطة الأصل.

شرحدرسالأعدادالمركبة

6. تطبيقات الأعداد المركبة

تستخدم الأعداد المركبة في العديد من المجالات مثل:
- الهندسة الكهربائية: تحليل الدوائر الكهربائية.
- الفيزياء: دراسة الموجات والاهتزازات.
- الرسومات الحاسوبية: تمثيل الحركات الدورانية.

شرحدرسالأعدادالمركبة

الخلاصة

الأعداد المركبة توسع مفهوم الأعداد الحقيقية وتقدم أدوات رياضية قوية لحل معادلات لا يمكن حلها باستخدام الأعداد الحقيقية فقط. فهم خصائصها وعملياتها الأساسية يساعد في تطبيقاتها المتعددة في العلوم والهندسة.

شرحدرسالأعدادالمركبة