شرح درس الأعداد المركبة (Complex Numbers)
الأعداد المركبة هي أحد المفاهيم الأساسية في الرياضيات، حيث تمثل امتدادًا للأعداد الحقيقية. في هذا الدرس، سنتعرف على تعريف الأعداد المركبة، خصائصها، وكيفية التعامل معها في العمليات الحسابية المختلفة. شرحدرسالأعدادالمركبة
1. تعريف العدد المركب
العدد المركب (Complex Number) هو عدد يمكن كتابته على الصورة:
[ z = a + bi ]
حيث:
- a و b أعداد حقيقية.
- i هي الوحدة التخيلية، وتحقق المعادلة ( i^2 = -1 ).
- يُسمى a الجزء الحقيقي للعدد المركب (Real Part).
- يُسمى b الجزء التخيلي للعدد المركب (Imaginary Part).
2. تمثيل الأعداد المركبة
يمكن تمثيل الأعداد المركبة بعدة طرق، منها:
- التمثيل الجبري: مثل ( 3 + 4i ).
- التمثيل الهندسي: حيث يُرسم العدد المركب على المستوى الإحداثي (مستوى الأعداد المركبة)، حيث يمثل المحور الأفقي الجزء الحقيقي والمحور الرأسي الجزء التخيلي.
3. العمليات الأساسية على الأعداد المركبة
الجمع والطرح
لجمع أو طرح عددين مركبين، نجمع أو نطرح الأجزاء الحقيقية والتخيلية بشكل منفصل:
[ (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i ]
[ (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i ]
الضرب
يتم ضرب الأعداد المركبة باستخدام خاصية التوزيع مع مراعاة أن ( i^2 = -1 ):
[ (a + bi) \times (c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i ]
القسمة
لقسمة عددين مركبين، نضرب البسط والمقام في مرافق المقام (Complex Conjugate) لإزالة الجزء التخيلي من المقام:
[ \frac{ a + bi}{ c + di} = \frac{ (a + bi)(c - di)}{ c^2 + d^2} ]
4. مرافق العدد المركب (Complex Conjugate)
مرافق العدد المركب ( z = a + bi ) هو العدد ( \overline{ z} = a - bi ). من خصائصه:
- ضرب العدد بمرافقه يعطي عددًا حقيقيًا: ( z \times \overline{ z} = a^2 + b^2 ).
- يُستخدم في تبسيط القسمة بين الأعداد المركبة.
5. القيمة المطلقة للعدد المركب (Modulus)
القيمة المطلقة للعدد ( z = a + bi ) تُعطى بالعلاقة:
[ |z| = \sqrt{ a^2 + b^2} ]
وهي تمثل المسافة بين النقطة التي تمثل العدد المركب على المستوى الإحداثي ونقطة الأصل.
6. تطبيقات الأعداد المركبة
تستخدم الأعداد المركبة في العديد من المجالات مثل:
- الهندسة الكهربائية: تحليل الدوائر الكهربائية.
- الفيزياء: دراسة الموجات والاهتزازات.
- الرسومات الحاسوبية: تمثيل الحركات الدورانية.
الخلاصة
الأعداد المركبة توسع مفهوم الأعداد الحقيقية وتقدم أدوات رياضية قوية لحل معادلات لا يمكن حلها باستخدام الأعداد الحقيقية فقط. فهم خصائصها وعملياتها الأساسية يساعد في تطبيقاتها المتعددة في العلوم والهندسة.
شرحدرسالأعدادالمركبة