شرحدرسالأعدادالمركبة(ComplexNumbers)
مقدمةعنالأعدادالمركبة
الأعدادالمركبةهيأعدادتتكونمنجزئين:جزءحقيقيوجزءتخيلي.يتمالتعبيرعنهاعادةبالصيغةa+biحيث:-aهوالجزءالحقيقي-bهوالجزءالتخيلي-iهيالوحدةالتخيليةحيثi²=-1شرحدرسالأعدادالمركبة
تاريخالأعدادالمركبة
ظهرتفكرةالأعدادالمركبةلأولمرةفيالقرنالسادسعشرعندماحاولعلماءالرياضياتحلالمعادلاتالتكعيبية.تمتطويرهابشكلكاملفيالقرنالثامنعشرعلىيدعالمالرياضياتليونهاردأويلر.
خصائصالأعدادالمركبة
- الجمعوالطرح:(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i
- الضرب:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
- القسمة:يتمضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام
التمثيلالهندسي
يمكنتمثيلالعددالمركبعلىالمستوىالديكارتي(مستوىالأعدادالمركبة)حيث:-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي
الصيغةالقطبية
يمكنالتعبيرعنالعددالمركببالصيغةالقطبية:r(cosθ+isinθ)حيث:-rهوالمقياس(الطول)-θهيالزاوية(الوسيطة)
تطبيقاتالأعدادالمركبة
- فيالهندسةالكهربائيةلتحليلالدوائرالمتناوبة
- فيمعالجةالإشاراتوالصور
- فيميكانيكاالكم
- فيأنظمةالتحكم
خاتمة
الأعدادالمركبةتلعبدوراًأساسياًفيالعديدمنفروعالرياضياتوالعلومالتطبيقية.فهمهايتطلبإدراكالعلاقةبينالجزءالحقيقيوالتخيلي،وكيفيةتمثيلهاوتحليلها.معالتقدمفيدراسةالرياضيات،تصبحالأعدادالمركبةأداةقويةلحلمشكلاتمعقدةفيمختلفالمجالاتالعلمية.
شرحدرسالأعدادالمركبةمقدمةعنالأعدادالمركبة
الأعدادالمركبةهيأعدادتتكونمنجزئين:جزءحقيقيوجزءتخيلي.يتمالتعبيرعنهابالصيغةالعامةa+biحيث:-aهوالجزءالحقيقي-bهوالجزءالتخيلي-iهيالوحدةالتخيليةحيثi²=-1
شرحدرسالأعدادالمركبةتاريخالأعدادالمركبة
ظهرتفكرةالأعدادالمركبةلأولمرةفيالقرنالسادسعشرعندماحاولعلماءالرياضياتحلمعادلاتلايمكنحلهاباستخدامالأعدادالحقيقيةفقط.تمتطويرهابشكلكاملفيالقرنالثامنعشربواسطةعالمالرياضياتليونهاردأويلر.
شرحدرسالأعدادالمركبةخصائصالأعدادالمركبة
- الجمعوالطرح:(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i
- الضرب:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
- القسمة:يتمضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام
التمثيلالهندسي
يمكنتمثيلالعددالمركبعلىالمستوىالديكارتيحيث:-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي-هذاالتمثيليعرفباسم"مستوىالأعدادالمركبة"أو"مستوىأرجاند"
شرحدرسالأعدادالمركبةالصيغةالقطبيةللأعدادالمركبة
يمكنالتعبيرعنالعددالمركبباستخدامالصيغةالقطبية:z=r(cosθ+isinθ)حيث:-rهوالمقياس(الطول)-θهيالزاوية(الطور)
شرحدرسالأعدادالمركبةتطبيقاتالأعدادالمركبة
- فيالهندسةالكهربائيةلحسابدوائرالتيارالمتردد
- فيمعالجةالإشاراتوالتحليلالطيفي
- فيميكانيكاالكموفيزياءالجسيمات
- فيالرسوماتالحاسوبيةوالتحريك
خاتمة
الأعدادالمركبةتلعبدوراًأساسياًفيالعديدمنفروعالرياضياتوالعلومالتطبيقية.فهمهايتطلبإدراكالعلاقةبينالجزأينالحقيقيوالتخيلي،وكيفيةالتعاملمعهمفيالعملياتالحسابيةالمختلفة.
شرحدرسالأعدادالمركبةمقدمةعنالأعدادالمركبة
الأعدادالمركبةهيأعدادتتكونمنجزئين:جزءحقيقيوجزءتخيلي.يتمالتعبيرعنهابالصيغةالعامةa+biحيث:-aهوالجزءالحقيقي-bهوالجزءالتخيلي-iهيالوحدةالتخيليةحيثi²=-1
شرحدرسالأعدادالمركبةتاريخالأعدادالمركبة
ظهرتفكرةالأعدادالمركبةلأولمرةفيالقرنالسادسعشرعندماحاولعلماءالرياضياتحلمعادلاتلايمكنحلهاباستخدامالأعدادالحقيقيةفقط.كانجيرولاموكاردانوأولمنأشارإليهافيكتابه"فنالعظيم"عام1545.
شرحدرسالأعدادالمركبةخصائصالأعدادالمركبة
- الجمعوالطرح:(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i
- الضرب:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
- القسمة:يتمضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام
التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة
يمكنتمثيلالعددالمركبعلىالمستوىالديكارتيحيث:-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي-كلعددمركبيقابلنقطةفيهذاالمستوى
شرحدرسالأعدادالمركبةالصيغةالقطبيةللأعدادالمركبة
يمكنالتعبيرعنالعددالمركبباستخدامالصيغةالقطبية:z=r(cosθ+isinθ)حيث:-rهوالمقياس(طولالمتجهمنالأصلللنقطة)-θهيالزاويةمعالمحورالحقيقي
شرحدرسالأعدادالمركبةتطبيقاتالأعدادالمركبة
- فيالهندسةالكهربائيةلحسابدوائرالتيارالمتردد
- فيمعالجةالإشاراتوالتحليلالطيفي
- فيميكانيكاالكموفيزياءالجسيمات
- فيالرسوماتالحاسوبيةوالتحريك
خاتمة
الأعدادالمركبةتوسعمفهومنالنظامالأعدادوتوفرأدواتقويةلحلمشكلاترياضيةوعلميةمعقدة.فهمهاأساسيللعديدمنالتخصصاتالعلميةوالهندسيةالمتقدمة.
شرحدرسالأعدادالمركبةمقدمةعنالأعدادالمركبة
الأعدادالمركبةهيأعدادتتكونمنجزئين:جزءحقيقيوجزءتخيلي.يتمالتعبيرعنهاعادةبالصيغةa+biحيث:-aهوالجزءالحقيقي-bهوالجزءالتخيلي-iهيالوحدةالتخيليةالتيتساويالجذرالتربيعيللعدد-1(i²=-1)
شرحدرسالأعدادالمركبةخصائصالأعدادالمركبةالأساسية
الجمعوالطرح:عندجمعأوطرحعددينمركبين،نجمع/نطرحالأجزاءالحقيقيةوالأجزاءالتخيليةكلعلىحدةمثال:(3+2i)+(1+4i)=(3+1)+(2+4)i=4+6i
شرحدرسالأعدادالمركبةالضرب:نضربالأعدادالمركبةباستخدامخاصيةالتوزيعمعتذكرأنi²=-1مثال:(2+3i)×(1+2i)=2×1+2×2i+3i×1+3i×2i=2+4i+3i+6i²=2+7i+6(-1)=-4+7i
شرحدرسالأعدادالمركبةالقسمة:لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقاممثال:(3+4i)÷(1+2i)=[(3+4i)(1-2i)]÷[(1+2i)(1-2i)]
شرحدرسالأعدادالمركبة
التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة
يمكنتمثيلالعددالمركبa+biكنقطةفيالمستوىالمركبحيث:-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي
شرحدرسالأعدادالمركبةالصيغةالقطبيةللأعدادالمركبة
يمكنالتعبيرعنالعددالمركبباستخدامالصيغةالقطبية:r(cosθ+isinθ)حيث:-rهوالمقياس(الطول)للعددالمركبويحسببالعلاقةr=√(a²+b²)-θهيالزاوية(الوسع)وتقاسعكساتجاهعقاربالساعةمنالمحورالحقيقيالموجب
شرحدرسالأعدادالمركبةتطبيقاتالأعدادالمركبة
- فيالهندسةالكهربائيةلحسابدوائرالتيارالمتردد
- فيمعالجةالإشاراتوالتحليلالطيفي
- فيميكانيكاالكموفيزياءالموجات
- فيالرسوماتالحاسوبيةوالتحريك
خاتمة
الأعدادالمركبةتوسعمفهومنظامالأعدادالحقيقيةوتوفرأداةقويةلحلالمعادلاتالتيليسلهاحلفينظامالأعدادالحقيقية.فهمالأعدادالمركبةأساسيفيالعديدمنفروعالرياضياتوالعلوموالهندسة.
شرحدرسالأعدادالمركبةمقدمةعنالأعدادالمركبة
الأعدادالمركبةهيأعدادتتكونمنجزئين:جزءحقيقيوجزءتخيلي.يتمالتعبيرعنهاعادةبالصيغةa+biحيث:-aهوالجزءالحقيقي-bهوالجزءالتخيلي-iهيالوحدةالتخيليةحيثi²=-1
شرحدرسالأعدادالمركبةتاريخالأعدادالمركبة
ظهرتالأعدادالمركبةلأولمرةفيالقرنالسادسعشرعندماحاولعلماءالرياضياتحلمعادلاتلايمكنحلهاباستخدامالأعدادالحقيقيةفقط.كانجيرولاموكاردانوأولمنأشارإليهافيعملهعام1545.
شرحدرسالأعدادالمركبةخصائصالأعدادالمركبة
- الجمعوالطرح:(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i
- الضرب:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
- القسمة:يتمضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام
التمثيلالهندسي
يمكنتمثيلالعددالمركبعلىالمستوىالديكارتيحيث:-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي
شرحدرسالأعدادالمركبةالصيغةالقطبية
يمكنالتعبيرعنالعددالمركببالصيغةالقطبية:r(cosθ+isinθ)حيث:-rهوالمقياس(الطول)-θهيالزاويةمعالمحورالحقيقي
شرحدرسالأعدادالمركبةتطبيقاتالأعدادالمركبة
- فيالهندسةالكهربائيةلتحليلالدوائرالمتناوبة
- فيمعالجةالإشاراتوالصور
- فيميكانيكاالكم
- فيأنظمةالتحكم
خاتمة
الأعدادالمركبةتوسعمفهومناللأعدادوتفتحآفاقاًجديدةفيالرياضياتوالعلومالتطبيقية.فهمهاأساسيللعديدمنالتخصصاتالعلميةوالهندسيةالمتقدمة.
شرحدرسالأعدادالمركبةمقدمةعنالأعدادالمركبة
الأعدادالمركبةهيأعدادتتكونمنجزئين:جزءحقيقيوجزءتخيلي.يتمالتعبيرعنهابالصيغةالعامةa+biحيث:-aهوالجزءالحقيقي-bهوالجزءالتخيلي-iهيالوحدةالتخيليةحيثi²=-1
شرحدرسالأعدادالمركبةتاريخالأعدادالمركبة
ظهرتفكرةالأعدادالمركبةلأولمرةفيالقرنالسادسعشرعندماحاولعلماءالرياضياتحلالمعادلاتالتيلايوجدلهاحلفيمجموعةالأعدادالحقيقية.كانجيرولاموكاردانوأولمنقدموصفًارسميًالهذهالأعدادفيعام1545.
شرحدرسالأعدادالمركبةخصائصالأعدادالمركبة
- الجمعوالطرح:(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i
- الضرب:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
- القسمة:يتمضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام
- المرافق:مرافقالعددa+biهوa-bi
التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة
يمكنتمثيلالعددالمركبعلىالمستوىالديكارتيحيث:-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي-كلعددمركبيقابلنقطةفيهذاالمستوى
شرحدرسالأعدادالمركبةالصيغةالقطبيةللأعدادالمركبة
يمكنالتعبيرعنالعددالمركببالصيغةالقطبية:r(cosθ+isinθ)حيث:-rهوالمقياس(الطول)-θهيالزاويةمعالمحورالحقيقي
شرحدرسالأعدادالمركبةتطبيقاتالأعدادالمركبة
- فيالهندسةالكهربائيةلحسابدوائرالتيارالمتردد
- فيمعالجةالإشاراتالرقمية
- فيميكانيكاالكم
- فيالرسوماتالحاسوبية
خاتمة
الأعدادالمركبةتوسعمفهومناللأعدادوتفتحآفاقًاجديدةفيالرياضياتوالعلومالتطبيقية.فهمهاجيدًايساعدفيحلمشكلاتمعقدةلايمكنحلهاباستخدامالأعدادالحقيقيةفقط.
شرحدرسالأعدادالمركبةالأعدادالمركبةهيمفهومرياضيمتقدميمثلتوسيعًالمجموعةالأعدادالحقيقية.فيهذاالدرس،سنستكشفأساسياتالأعدادالمركبة،تمثيلها،خصائصها،وعملياتهاالأساسية.
شرحدرسالأعدادالمركبةتعريفالعددالمركب
العددالمركبهوعدديمكنالتعبيرعنهبالصيغة:z=a+biحيث:-aوbأعدادحقيقية-iهيالوحدةالتخيليةالتيتحققالمعادلةi²=-1
شرحدرسالأعدادالمركبةمكوناتالعددالمركب
- الجزءالحقيقي(RealPart):يمثلبالرمزRe(z)=a
- الجزءالتخيلي(ImaginaryPart):يمثلبالرمزIm(z)=b
التمثيلالهندسي
يمكنتمثيلالأعدادالمركبةعلىالمستوىالمركب(مستوىأرجاند)حيث:-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي
شرحدرسالأعدادالمركبةالعملياتالأساسية
الجمع:(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
شرحدرسالأعدادالمركبةالطرح:(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
شرحدرسالأعدادالمركبةالضرب:(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
شرحدرسالأعدادالمركبةالقسمة:للقسمة،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام
شرحدرسالأعدادالمركبة
المرافقالمركب
مرافقالعددالمركبz=a+biهو:z̄=a-bi
شرحدرسالأعدادالمركبةمعيارالعددالمركب
معيارالعددz=a+biهو:|z|=√(a²+b²)
شرحدرسالأعدادالمركبةالصيغةالقطبية
يمكنالتعبيرعنالعددالمركببالصيغةالقطبية:z=r(cosθ+isinθ)حيث:-r=|z|(المعيار)-θهيالزاوية(الوسيطة)
شرحدرسالأعدادالمركبةتطبيقاتالأعدادالمركبة
- فيالهندسةالكهربائية
- فيمعالجةالإشارات
- فيميكانيكاالكم
- فيتحليلالدوائرالكهربائية
- فيالرسوماتالحاسوبية
خاتمة
الأعدادالمركبةأداةرياضيةقويةتوسعنطاقحلالمعادلاتوتقدمطرقًاجديدةلتمثيلوتحليلالمشكلاتفيمجالاتعلميةوتقنيةمتنوعة.فهمالأعدادالمركبةأساسيللرياضياتالمتقدمةوالفيزياءوالهندسة.
شرحدرسالأعدادالمركبةمقدمةعنالأعدادالمركبة
الأعدادالمركبةهيأعدادتتكونمنجزئين:جزءحقيقيوجزءتخيلي.يتمالتعبيرعنهابالصيغةالعامةa+biحيث:-aهوالجزءالحقيقي-bهوالجزءالتخيلي-iهيالوحدةالتخيليةالتيتساويالجذرالتربيعيللعدد-1(i²=-1)
شرحدرسالأعدادالمركبةتاريخالأعدادالمركبة
ظهرتفكرةالأعدادالمركبةلأولمرةفيالقرنالسادسعشرعندماحاولعلماءالرياضياتحلالمعادلاتالتكعيبية.تمتطويرهابشكلكاملفيالقرنالثامنعشرعلىيدعالمالرياضياتليونهاردأويلر.
شرحدرسالأعدادالمركبةالعملياتالأساسيةعلىالأعدادالمركبة
1.الجمعوالطرح
لجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالأجزاءالتخيليةكلعلىحدة:(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
شرحدرسالأعدادالمركبة2.الضرب
لضربعددينمركبين،نستخدمخاصيةالتوزيعونأخذفيالاعتبارأنi²=-1:(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi²=(ac-bd)+(ad+bc)i
شرحدرسالأعدادالمركبة3.القسمة
لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام:(a+bi)/(c+di)=[(a+bi)(c-di)]/(c²+d²)
شرحدرسالأعدادالمركبةالتمثيلالهندسيللأعدادالمركبة
يمكنتمثيلالعددالمركبa+biكنقطةفيالمستوىالإحداثي(مستوىأرجاند)حيث:-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي
شرحدرسالأعدادالمركبةالصيغةالقطبيةللأعدادالمركبة
يمكنالتعبيرعنالعددالمركبباستخدامالصيغةالقطبية:r(cosθ+isinθ)حيث:-rهوالمقياس(الطول)للعددالمركب-θهيالزاوية(الوسيطة)التييصنعهامعالمحورالحقيقي
شرحدرسالأعدادالمركبةتطبيقاتالأعدادالمركبة
تستخدمالأعدادالمركبةفيالعديدمنالمجالاتمثل:1.الهندسةالكهربائية(تحليلالدوائرالكهربائية)2.الفيزياء(ميكانيكاالكم)3.معالجةالإشارات4.الرسوماتالحاسوبية5.نظريةالتحكم
شرحدرسالأعدادالمركبةخاتمة
الأعدادالمركبةهيأداةرياضيةقويةتوسعمفهومالأعدادالحقيقيةوتسمحبحلمعادلاتلايمكنحلهاباستخدامالأعدادالحقيقيةفقط.فهمالأعدادالمركبةأساسيللعديدمنالتخصصاتالعلميةوالهندسيةالمتقدمة.
شرحدرسالأعدادالمركبة