الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
الأعدادالمركبة(ComplexNumbers)هيأحدالمفاهيمالأساسيةفيالرياضياتالتيتجمعبينالأعدادالحقيقيةوالأعدادالتخيلية.تُستخدمهذهالأعدادفيالعديدمنالمجالاتمثلالهندسة،الفيزياء،ومعالجةالإشارات.فيهذاالمقال،سنستعرضتعريفالأعدادالمركبة،خصائصها،وكيفيةالتعاملمعهافيالعملياتالحسابيةالمختلفة.الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
ماهيالأعدادالمركبة؟
العددالمركبهوأيعدديمكنكتابتهعلىالصورة:
[z=a+bi]
حيث:
-(a)هوالجزءالحقيمنالعددالمركب.
-(b)هوالجزءالتخيلي.
-(i)هيالوحدةالتخيلية،وتُعرفبأنهاالجذرالتربيعيللعدد-1،أي:
[i^2=-1]
التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة
يمكنتمثيلالعددالمركب(z=a+bi)كنقطةفيالمستوىالإحداثي(يُسمىمستوىالأعدادالمركبةأومستوىغاوس)،حيث:
-المحورالأفقي(x)يمثلالجزءالحقيقي(a).
-المحورالرأسي(y)يمثلالجزءالتخيلي(b).
العملياتالأساسيةعلىالأعدادالمركبة
الجمعوالطرح:
عندجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل.
مثال:
[(3+2i)+(1-4i)=(3+1)+(2i-4i)=4-2i]
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
الضرب:
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
لضربعددينمركبين،نستخدمخاصيةالتوزيعمعالأخذفيالاعتبارأن(i^2=-1).
مثال:
[(2+3i)\times(1-i)=2\times1+2\times(-i)+3i\times1+3i\times(-i)]
[=2-2i+3i-3i^2=2+i-3(-1)=2+i+3=5+i]القسمة:
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام(Conjugate)لإزالةالجزءالتخيليمنالمقام.
مثال:
[\frac{ 1+2i}{ 3-4i}=\frac{ (1+2i)(3+4i)}{ (3-4i)(3+4i)}=\frac{ 3+4i+6i+8i^2}{ 9+16}=\frac{ -5+10i}{ 25}=\frac{ -1+2i}{ 5}]
المرافقوالقياس
- مرافقالعددالمركب(Conjugate):
إذاكان(z=a+bi)،فإنمرافقههو(\overline{ z}=a-bi). - قياسالعددالمركب(Modulus):
يُحسبباستخدامنظريةفيثاغورس:
[|z|=\sqrt{ a^2+b^2}]
تطبيقاتالأعدادالمركبة
تُستخدمالأعدادالمركبةفي:
-الهندسةالكهربائية:لتحليلدوائرالتيارالمتردد.
-معالجةالإشارات:فيتحويلفورييه(FourierTransform).
-الميكانيكاالكمية:لوصفالدوالالموجية.
الخلاصة
الأعدادالمركبةتوسعمفهومالأعدادالحقيقيةوتقدمأدواتقويةلحلالمعادلاتالتيليسلهاحلولفينطاقالأعدادالحقيقية.بفهمأساسياتها،يمكنتطبيقهافيالعديدمنالمجالاتالعلميةوالتقنية.
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط